Question

【题目】已知数列的前项和为，且， ，在数列中， ， ， ．

（1）求证： 是等比数列；

（2）若，求数列的前项和；

（3）求数列的前项和．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）利用递推关系可得，由等比数列的定义即可得出结论；（2）利用对数的运算性质可得，根据裂项求和方法即可得出；（3）时， 时， ，综上，可得，再利用错位相减法及分组求和法即可得结果.

试题解析：(1) 证明： 且

是首项为4，公比为2的等比数列 .

(2) 由(1)知 ，

所以 ，

则 ，

.

(3) 时 ,

时 ,

综上 ,

，解得

.

【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②

；③；

④ ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.