题目内容
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A，B，C成等差数列，且b=
．
（1）若sinA+cosA=
，求a；
（2）求△ABC面积的最大值．
| 3 |
（1）若sinA+cosA=
| 2 |
（2）求△ABC面积的最大值．
分析：（1）通过等差数列求出B，利用两角和与差的三角函数化简sinA+cosA=
，求出A的值，利用正弦定理求a；
（2）利用余弦定理以及基本不等式求出a、c的关系，表示出△ABC面积，然后求出面积的最大值．
| 2 |
（2）利用余弦定理以及基本不等式求出a、c的关系，表示出△ABC面积，然后求出面积的最大值．
解答：解：（1）因为A、B、C成等差数列，所以A+C=2B，
又A+B+C=π，∴B=
． …（2分）
sinA+cosA=
sin（A+
）=
，∴sin（A+
）=1．
∵0＜A＜π，
＜A+
＜
，∴A+
=
，A=
．…（6分）
根据正弦定理，得
=
，即
=
．
解之，得a=
． …（8分）
（2）根据余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB，
由（1）知，B=
，b=
，
于是，3=a2+c2-2accos
=a2+c2-ac，…（10分）
根据基本不等式，a2+c2≥2ac，得3=a2+c2-ac≥ac，
所以ac≤3，当且仅当a=c时，取“=”． …（12分）
所以S=
acsinB=
ac≤
． …（14分）
又A+B+C=π，∴B=
| π |
| 3 |
sinA+cosA=
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
| π |
| 4 |
∵0＜A＜π，
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 5π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
根据正弦定理，得
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| a | ||
sin
|
| ||
sin
|
解之，得a=
| 2 |
（2）根据余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB，
由（1）知，B=
| π |
| 3 |
| 3 |
于是，3=a2+c2-2accos
| π |
| 3 |
根据基本不等式，a2+c2≥2ac，得3=a2+c2-ac≥ac，
所以ac≤3，当且仅当a=c时，取“=”． …（12分）
所以S=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
3
| ||
| 4 |
点评：本题考查三角形中的数量关系的计算，两角和与差的三角函数以及正弦定理余弦定理的应用，考查计算能力，转化思想的应用．
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在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b2+c2-a2=
bc，且b=
a，则下列关系一定不成立的是（ ）
| 3 |
| 3 |
| A、a=c |
| B、b=c |
| C、2a=c |
| D、a2+b2=c2 |