Question

已知函数f（x）=lnax-

x-a

x

（a≠0）
（Ⅰ）求此函数的单调区间及最值
（Ⅱ）求证：对于任意正整数n均有1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥

1

2

ln

(2e)2

n!

，其中e为自然对数的底数；
（Ⅲ）当a=1时，是否存在过点（1，-1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导数，对a进行讨论，确定函数f（x）的定义域，可得函数的单调区间及最值；
（Ⅱ）取a=2，证明

1

x

≥

1

2

ln

2e

x

（x＞0），取x=1，2，3…，n，即可证得结论；
（Ⅲ）假设存在这样的切线，确定切线方程，将切点坐标代入，再构建函数，利用函数在其定义域上的单调性，即可的符合条件的切线．

解答：（Ⅰ）解：由题意f′(x)=

x-a

x2

．      …（1分）
当a＞0时，函数f（x）的定义域为（0，+∞），此时函数在（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，
故fmin(x)=f(a)=lna2，无最大值． …（3分）
当a＜0时，函数f（x）的定义域为（-∞，0），此时函数在（-∞，a）上是减函数，在（a，0）上是增函数，
故fmin(x)=f(a)=lna2，无最大值．…（5分）
（Ⅱ）证明：取a=2，由（Ⅰ）可知：f(x)=ln2x-

x-2

x

≥f(2)=2ln2，
故

2

x

≥1+ln4-ln2x=ln

2e

x

，∴

1

x

≥

1

2

ln

2e

x

，（x＞0）
取x=1，2，3…，n，则1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥

1

2

ln

(2e)n

n!

．…（10分）
（Ⅲ）解：假设存在这样的切线，设其中一个切点T（x0，lnx0-

x0-1

x0

），
∴切线方程：y+1=

x0-1

x02

(x-1)，将点T坐标代入得：lnx0-

x0-1

x0

+1=

(x0-1)2

x02

，
即lnx0+

3

x0

-

2

x02

-1=0，…①
设g（x）=lnx+

3

x

-

1

x2

-1，则g′(x)=

(x-1)(x-2)

x3

．
∵x＞0，∴g（x）在区间（0，1），（2．+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，
故g（x）_极大值=g（1）=1＞0，g（x）_极小值=g（2）=ln2+

1

4

＞0．
又g(

1

3

)=ln

1

3

+9-9-1=-ln3-1＜0，（也可以求g(

1

4

)等等）
注意到g（x）在其定义域上的单调性，知g（x）=0仅在(

1

3

，1)内有且仅有一根
方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．…（15分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查不等式的证明，考查曲线的切线方程，考查学生分析解决问题的能力，难度大．