Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点，交抛物线于A，B两点，其中A在第二象限．
（1）求证：以线段FA为直径的圆与Y轴相切；
（2）若

FA

= λ1 

AP

，

BF

=λ2

FA

，求λ₂-λ₁的值．

Answer 1

分析：（1）由题设知F（

p

2

，0），设A（x₁，y₁），则y₁²=-2px，计算出圆心坐标，然后分别求出圆心到y轴的距离和圆半径，由此能够证明以线段FA为直径的圆与y轴相切．
（2）设P（0，y₁），B（x₂，y₂），由题中向量关系式得出坐标之间的关系，最后代入抛物线方程整理即可得到λ₂-λ₁的值．

解答：证明：（1）由已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F（

p

2

，0），
设A（x₁，y₁），则圆心坐标为(

2x1-p

4

，

y1

2

)，
圆心到y轴的距离为

p-2x1

4

．…（2分）
圆的半径为

|FA|

2

=

1

2

(

p

2

-x1)=

p-2x1

4

，…（4分）
∴以线段FA为直径的圆与y轴相切．                            …（5分）
（2）设P（0，y₀），B（x₂，y₂），由

FA

=λ1

AP

，

BF

=λ2

FA

，得λ₁＞0，λ₂＞0(x1+

p

2

，y1)=λ1(-x1，y0-y1)，…x2=λ22x1…（6分）
(-

p

2

-x2，-y2)=λ2(x1+

p

2

，y1)．（7分）
∴x1+

p

2

=-λ1x1①
-

p

2

-x2=λ2(x1+

p

2

)②
-y₂=λ₂y₁③…（10分）
∵y22=-2px2，y12=-2px1．
将③变形为y22=λ22y12，∴x2=λ22x1．…（11分）
将代入②，整理得x1=-

p

2λ2

…（12分）
代入①得-

1

λ2

+1=

λ1

λ2

．…（13分）
即λ₂-λ₁=1．…（14分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到直线与圆的位置关系及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．