Question

（2012•吉林二模）已知：P(

3

2

，

1

2

)、Q(cosα，sinα)(α∈(

π

2

，π))是坐标平面上的点，O是坐标原点．
（Ⅰ）若点Q的坐标是(-

3

5

，m)，求cos(a-

π

6

)的值；
（Ⅱ）设函数f(α)=

OP

•

OQ

，求f（a）的值域．

Answer 1

分析：（I）由已知条件，可得sinα和cosα的值，再结合两角差的余弦公式，可算出cos(α-

π

6

)的值；
（II）根据平面向量数量积的坐标公式和两角差的余弦公式，可得f（α）=cos（α-

π

6

），再结合余弦函数的图象与性质，可得函数f（α）=的值域．

解答：解：（Ⅰ）由已知条件，得cosα=-

3

5

，m=sinα=

4

5

．…（3分）
所以cos(α-

π

6

)=cosαcos

π

6

+sinαsin

π

6

=-

3

5

×

3

2

+

4

5

×

1

2

=

4-3 3

10

．…（6分）
（Ⅱ）f(α)=

OP

•

OQ

=cos

π

6

cosα+sin

π

6

sinα=cos（α-

π

6

） …（9分）
因为α∈(

π

2

，π)，则α+

π

6

∈(

π

3

，

5π

6

)，
∴-

3

2

＜cos(α+

π

6

)＜

1

2

．
故f（α）的值域是(-

3

2

，

1

2

)．…（12分）

点评：本题以平面向量的数量积坐标运算为载体，着重考查了两角差的余弦公式和余弦函数的图象与性质等知识，属于基础题．