Question

（本小题满分12分）

如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，△OAB，,△，△，△都是正三角形。

（Ⅰ）证明直线∥；

（II）求棱锥F—OBED的体积。

Answer 1

（本小题满分12分）本题考查空间直线与直线，直线与平面、平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算等基本知识，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.

       （I）（综合法）

       证明：设G是线段DA与EB延长线的交点. 由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以

=

       ∥，OG=OD=2，

       同理，设是线段DA与线段FC延长线的交点，有

       又由于G和都在线段DA的延长线上，所以G与重合.

=

=

       在△GED和△GFD中，由

=

∥和OC∥，可知B和C分别是GE和GF的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF.

       （向量法）

       过点F作，交AD于点Q，连QE，由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED，以Q为坐标原点，为轴正向，为y轴正向，为z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系.

       由条件知

       则有

       所以即得BC∥EF.

   （II）解：由OB=1，OE=2，，而△OED是边长为2的正三角形，故

       所以

       过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F—OBED的高，且FQ=，所以