Question

（本题满分16分）已知椭圆的离心率为.

⑴若圆（x-2）²+(y-1)²=与椭圆相交于A、B两点且线段AB恰为圆的直径，求椭圆W方程；

⑵设L为过椭圆右焦点F的直线，交椭圆于M、N两点，且L的倾斜角为60⁰．求的值.

⑶在（1）的条件下，椭圆W的左右焦点分别为F₁、 F₂，点R在直线l：x－y＋8＝0上．当∠F₁RF₂取最大值时，求的值.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）设A（x₁,y₁），B（x₂,y₂）,AB的方程为y-1=k(x-2) 即y=kx+1-2k①

  　∵离心率e=

∴椭圆方程可化为②

将①代入②得（1+2k²）x²+4(1-2k)·kx

+2(1-2k)²-2b²=0

∵x₁+x₂=    ∴k=-1

∴x₁x₂= 

又 

∴即 

∴b²=8    

∴椭圆方程为

(2)设,则由第二定义知即 或

∴ 或.

（3）当∠F₁RF₂取最大值时，过R、F₁、F₂的圆的圆心角最大，故其半径最小，与直线l相切.

直线l与x轴于S(-8,0),∽(可证)

 

【解析】略