Question

设各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=2，a_n=an+1

3

2

a_n+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）若a₂=

1

4

，求a₃，a₄，并猜想a₂₀₀₈的值（不需证明）；
（Ⅱ）记b_n=a₁a₂…a_n（n∈N^*），若b_n≥2

2

对n≥2恒成立，求a₂的值及数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可知a3=a1a2-

3

2

=24，a4=a2a3-

3

2

=2-8.由此可猜想|a_n|的通项为a_n=2^（-2）n-1（n∈N^*）．
（Ⅱ）令x_n=log₂a_n，S_n表示x_n的前n项和，则b_n=2^S_n．由题设知x₁=1且xn=

3

2

xn+1+xn+2(n∈N*)；Sn=x 1+x2++xn≥

3

2

(n≥2)．由此入手能够求出a₂的值及数列{b_n}的通项公式．

解答：解：（Ⅰ）因a₁=2，a₂=2^-2，故a3=a1a2-

3

2

=24，
a4=a2a3-

3

2

=2-8.
由此有a₁=2^（-2）0，a₂=2^（-2）2，a₃=2^（-2）2，a₄=2^（-2）3，、
故猜想|a_n|的通项为a_n=2^（-2）n-1（n∈N^*）．
（Ⅱ）令x_n=log₂a_n，S_n表示x_n的前n项和，则b_n=2^S_n．
由题设知x₁=1且xn=

3

2

xn+1+xn+2(n∈N*)；①
Sn=x 1+x2++xn≥

3

2

(n≥2)．②
因②式对n=2成立，有

3

2

≤x1+x2，又x1=1得x2≥

1

2

．③
下用反证法证明：x2≤

1

2

．假设x2＞

1

2

．
由①得xn+2+2xn+1=(xn+2+

3

2

xn+1)+

1

2

(xn+1+2xn)．
因此数列|x_n+1+2x_n|是首项为x₂+2，公比为

1

2

的等比数列．
故xn+1-

1

2

xn=(x2-

1

2

)

1

2n-1

(n∈N*)．④
又由①知xn+2-

1

2

xx+1=(xn-

3

2

xn+1)-

1

2

xn+1=-2(xn+1-

1

2

xn)，
因此是|xn+1-

1

2

xn|是首项为

1

2n-1

，公比为-2的等比数列，
所以xn+1-

1

2

xn=(x2-

1

2

)(-2)n-1(n∈N*)．⑤
由④-⑤得

5

2

Sn=(x2+2)

1

2n-1

-(x2-

1

2

)(-2)n-1(n∈N*)．⑥
对n求和得

5

2

xn=(x2+2)(2-

1

2n-1

)-(x2-

1

2

)

1-(-2)2

3

(n∈N*)．⑦
由题设知S2k+1≥

3

2

，且由反证假设x2＞

1

2

有(x2+2)(2-

1

22k

)-(x2-

1

2

)

22k+1+1

3

≥

15

4

(k∈N*)．
从而(x2-

1

2

)•

22k+1+1

3

≤(x2+2)(2-

1

22k

)-

15

4

＜2x2+

1

4

(k∈N*)．
即不等式2^2k+1＜

6x2+ 3 4

x2- 1 2

-1
对k∈N^*恒成立．但这是不可能的，矛盾．
因此x₂≤

1

2

，结合③式知x₂=

1

2

，因此a₂=2^*2=

2

．
将x₂=

1

2

代入⑦式得
S_n=2-

1

2n-1

（n∈N*），
所以b_n=2Sn=22-

1

2n-1

（n∈N*）

点评：本题考查数列性质的综合运用，解题时要认真审题．仔细解答，避免出错．