Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，，满足S_n²+2S_n+1=a_nS_n（n ≥2）．
（I）计算S₁，S₂，S₃，S₄，猜想S_n的表达式；
（II）并用数学归纳法证明．

Answer 1

解：（I）由题设S_n²+2S_n+1﹣a_nS_n=0，
当n ≥2（n∈N*）时，a_n=S_n﹣S _n﹣1， 代入上式，得S _n﹣1 S_n+2S _n+1=0．（*）
S₁=a₁=﹣，
∵S_n+=a_n﹣2（n ≥2，n∈N），
令n=2可得，S₂+=a₂﹣2=S₂﹣a₁﹣2，
∴=﹣2， ∴S₂=﹣．
同理可求得 S₃=﹣，S₄=﹣．
（II）猜想S_n =﹣，n∈N+，下边用数学归纳法证明：
①当n=1时，S₁=a₁=﹣，猜想成立．
②假设当n=k时猜想成立，即S_K=﹣，则
当n=k+1时，∵S_n+=a_n﹣2，∴，
∴，∴=﹣2=，
∴S _K+1=﹣，
∴当n=k+1时，猜想仍然成立．
①②可得，猜想对任意正整数都成立，即 S_n =﹣，n∈N+成立．