Question

（满分12分）已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，一个顶点为A（0，-1），且其右焦点到直线的距离为3.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在斜率为的直线，使与已知椭圆交于不同的两点,

且？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1）因为椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为A（0，-1），

由题意，可设椭圆的方程为，则其右焦点为

所以到直线的距离为，解得

所以椭圆的方程为                                          （4分）

（2）设存在满足条件的直线，设其方程为

由方程组消去,得方程 ①    （6分）

设，其中是方程①的两个根，

因为 , 关于的二次方程的判别式

，即    ②

由一元二次方程根与系数的关系得

    

的中点P的坐标为                             （9分）

因为，所以是线段的垂直平分线，

于是得代入②并整理得

故存在满足条件的直线，其斜率的取值范围为且。       （12分）