Question

各项均为正数的等比数列，，，单调增数列的前项和为，，且（）．

（Ⅰ）求数列、的通项公式；

（Ⅱ）令（），求使得的所有的值，并说明理由．

（Ⅲ) 证明中任意三项不可能构成等差数列．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），（Ⅱ）所有的值为1，2，3，4，理由见解析（Ⅲ)证明见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设等比数列的公比为，

∵=，，=4，

∵，∴，∴.                                     ……3分

∴

∵+2　            ①

当时，+2 ②

①-②得，即，

∵ ∴=3，

∴是公差为3的等差数列．

当时，+2，解得=1或=2，

当=1时，，此时=7，与矛盾；

当时，此时此时=8=，

∴．　                                                    ……6分

（Ⅱ）∵，∴＝，

∴=2>1，=＞1，,，，

下面证明当时，

事实上，当时，＝＜0

即，∵， ∴当时，，

故满足条件的所有的值为1，2，3，4．                        ……11分

(Ⅲ)假设中存在三项(,∈N*)使构成等差数列，

∴，即，∴．

因左边为偶数，右边为奇数，矛盾．

∴假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列．                     ……16分

考点：本小题主要考查等差数列和等比数列的混合运算、求解不等式和探索性问题的解决，考查学生分类讨论思想的应用和运算求解能力.

点评：等差数列和等比数列是两类最重要的数列，它们的基本量的运算要灵活掌握，另外，探索性问题通常都是先假设成立，再根据题意求解，如果求出符合要求的值就是存在的，如果求不出符合要求的解，就不存在.