Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，ABCD是矩形，三角形PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面APD⊥面ABCD，AB=1，AD=2，E，F分别为PC和BD的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）证明：平面PAD⊥平面PDC；
（3）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（1）欲证EF∥平面PAD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面PAD内一直线平行，连AC，根据中位线可知EF∥PA，EF?平面PAD，PA?平面PAD，满足定理所需条件；
（2）欲证平面PAD⊥平面ABCD，根据面面垂直的判定定理可知在平面ABCD内一直线与平面PAD垂直，根据面面垂直的性质定理可知CD⊥平面PAD，又CD?平面ABCD，满足定理所需条件；
（3）过P作PO⊥AD于O，从而PO⊥平面ABCD，即为四棱锥的高，最后根据棱锥的体积公式求出所求即可．

解答：证明：（1）连AC，由题可知F在AC上，∵E，F分别是AC，PC的中点
∴EF∥PA
∵EF?平面PAD，PA?平面PAD
∴EF∥平面PAD（4分）
证明：（2）平面PAD⊥平面ABCD于AD，CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，又CD?平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC（8分）
解：（3）过P作PO⊥AD于O∴PO⊥平面ABCD，
∵△PAD是等腰直角且AD=2，∴PO=1
∴VP-ABCD=

1

3

Sh=

2

3

（12分）

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及平面与平面垂直的判定和体积的计算，体积的求解在最近两年高考中频繁出现，值得重视．