Question

已知函数f(x)＝3^x，且f(a＋2)＝18，函数g(x)＝3^ax－4^x的定义域为[0，1]．

(1)写出函数g(x)的解析式；

(2)求函数g(x)的单调区间，并用函数单调性的定义给出证明；

(3)求函数g(x)的值域．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)因为f(x)＝3^x，所以f(a＋2)＝3^a+2＝18，得3^a＝2．又g(x)＝3^ax－4^x＝(3^a)^x－4^x，所以g(x)＝2^x－4^x，x∈[0，1]．

　　(2)令t＝2^x，y＝t－t²＝－(t²－t)＝－＋．因为x∈[0，1]，且函数t＝2^x在[0，1]上单调递增，所以t∈[1，2]．因为＜1，所以函数y＝t－t²在[1，2]上单调递减，所以，函数g(x)的单调递减区间为[0，1]．证明如下：任取x₁，x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，则g(x₂)－g(x₁)＝2－4－2＋4＝(2－2)－(2－2)(2＋2)＝(2－2)·(1－2－2)．因为0≤x₁＜x₂≤1，所以2＞2，且1≤2＜2，1＜2≤2，所以2＜2＋2＜4，所以2－2＞0，且－3＜1－2－2＜－1＜0，所以g(x₂)－g(x₁)＜0，即g(x₁)＞g(x₂)．故函数g(x)在区间[0，1]上单调递减．

　　(3)因为g(x)在[0，1]上是减函数，所以g(1)≤g(x)≤g(0)．因为g(1)＝2¹－4¹＝－2，g(0)＝2⁰－4⁰＝0，所以－2≤g(x)≤0．所以函数g(x)的值域为[－2，0]．