Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=（n+1）（a_n-n）．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）设b_n=2^n-1a_n，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）利用a_n=S_n-S_n-1和等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”即可得出．

解答：解：（1）∵S_n=（n+1）（a_n-n）…①
∴S_n-1=n（a_n-1-n+1）…②
①-②得：a_n=（n+1）a_n-na_n-1-2n，∴a_n-a_n-1=2；
令n=1得：S₁=（1+1）（a₁-1），∴a₁=2，
∵{a_n}是以2为首项，2为公差的等差数列．
∴a_n=2n
（2）∵bn=2n-1an=n•2n，
令Tn=1×2 1+2×2 2+3×2 3+…+(n-1)×2 n-1+n×2 n…③
则2Tn=1×2 2+2×2 3+3×2 4+…+(n-1)×2 n+n×2 n+1…④
由④-③得：Tn=-1×2 1-1×2 2-1×2 3-…-1×2 n+n×2 n+1
=-

2(1-2n)

1-2

+n×2n+1=(n-1)•2n+1+2

点评：熟练掌握a_n=S_n-S_n-1和等差数列的通项公式和等比数列的前n项和公式、“错位相减法”等是解题的关键．