Question

如图所示，CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线，CE⊥CD，CE=

10

3

，连接DE交BC于点F，AC=4，BC=3．
求证：（1）△ABC∽△EDC；   （2）DF=EF．

Answer 1

分析：（1）直接根据CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线求出CD的长，再根据

CE

CD

=

10 3

5 2

=

4

3

=

AC

BC

，∠ACB=∠DCE=90°即可证明结论；（2）先根据第一问的结论得到∠B=∠CDE，∠E=∠A；再根据CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线得到CD=AD=DB⇒∠B=∠DCB，∠A=∠CDA即可求出DF=CF；最后根据：∠CDA+∠DCB=∠DCB+∠BCE=90°；得到CF=EF即可证明结论．

解答：证明：（1）∵CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线
∴CD=

1

2

AB=

1

2

AC2+BC2

=

5

2

．
∴

CE

CD

=

10 3

5 2

=

4

3

=

AC

BC

，∠ACB=∠DCE=90°．
∴△ABC∽△EDC．
（2）因为△ABC∽△EDC
∴∠B=∠CDE，∠E=∠A．
由CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线得：CD=AD=DB⇒∠B=∠DCB，∠A=∠DCA
∴∠DCB=∠CDE⇒DF=CF；
又因为：∠DCA+∠DCB=∠DCB+∠BCE=90°；
∴∠DCA=∠BCE=∠A=∠E
∴CF=EF．
∴DF=EF．

点评：本题主要考查了直角三角形和相似三角形的判定与性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解答本题的关键．