Question

已知函数f（x）=sin（ x+）+sin（x-）+cosx+a的最大值为1．
（1）求常数a的值；
（2）求使f （x）≥0成立的x的取值集合；
（3）若 x∈[0，π]，求函数的值域．

Answer 1

解：（1）函数f （x）=sin（ x+）+sin （x-）+cosx+a=sinx+cosx+a=2sin（ x+）+a，
由最大值为2+a=1，解得 a=-1．
（2）由f （x）≥0得2sin（ x+）+a≥0，即 sin（ x+）≥，
∴2kπ+≥x+≥2kπ+，故解集为 {x|2kπ≤x≤2kπ+}，k∈Z．
（3）∵x∈[0，π]，
∴≤x+≤，
∴-≤sin（ x+）≤1，
∴-2≤2sin（ x+）-1≤1，
故函数f （x）=2sin（ x+）-1 的值域为：[-2，1]．
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f （x）=2sin（ x+）+a，由2+a=1求得a的值．
（2）由f （x）≥0可得sin（ x+）≥，从而求得x的取值集合．
（3）根据 x的范围，求出 x+的范围，利用正弦函数的定义域和值域 求得sin（ x+）的范围，从而得到故函数f （x）=2sin（ x+）-1 的值域．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．