Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=

1

2

，且S_n=n²a_n-n（n-1），（n∈N）
（Ⅰ）求证：数列{

n+1

n

Sn}是等差数列；
（Ⅱ）设f_n（x）=

Sn

n

xⁿ⁺¹，b_n=f′_n（a）（a∈R，n∈N），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由 a_n=S_n-S_n-1 （n≥2），结合条件可得

n+1

n

Sn  - 

n

n-1

Sn-1=1，结论得证．
（Ⅱ）求出数列{b_n}的通项公式，分类讨论，用错位相加法求它的和 T_n．

解答：解：（Ⅰ）由 a_n=S_n-S_n-1 （n≥2），及 S_n=n²a_n-n（n-1）得 
S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1），即  （n²-1 ）S_n-n²S_n-1=n（n-1），
∴

n+1

n

Sn  - 

n

n-1

Sn-1=1，∴{

n+1

n

Sn}是首项为1，公差为1的等差数列．
（Ⅱ）故由（I）得

n+1

n

Sn=1+（n-1）=n，∴S_n=

n2

n+1

．
∵f_n（x）=

Sn

n

xⁿ⁺¹ =

n

n+1

xn+1，∴f′_n（x）=nxⁿ，∴b_n=naⁿ，
∴T_n=a+2a²+3a³+A+naⁿ   ①．
当a=0 时，T_n=0；　　当a=1时，T_n=1+2+3+A+n=

n(n+1)

2

；　　　　　　　　　　
当 a≠1时 aT_n=a²+2a³+3a⁴+A+naⁿ⁺¹   ②，
由①-②得（ 1-a）T_n=a+a²+a³+A+aⁿ-naⁿ⁺¹=

a-an+1

1-a

-nan+1，
∴T_n=

a-an+1

(1-a)2

- 

nan+1

1-a

．　　
综上得 T_n=

n(n+1) 2     (a=1) a-an+1 (1-a)2 - nan+1 1-a   (a≠1)

．

点评：本题考查等差关系的确定，列求和的方法，体现了分类讨论的数学的思想，分类讨论求 T_n是解题的难点．