题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，nS_n+1-（n+1）S_n=n²+cn（c∈R，n=1，2，3，…）．且S₁， $数学公式$ ， $数学公式$ 成等差数列．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

解：（Ⅰ）∵nS_n+1-（n+1）S_n=n²+cn（n=1，2，3，），
∴ $\text{[math]}$ （n=1，2，3，）．（1分）
∵S₁， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列，
∴ $\text{[math]}$ ．（3分）
∴ $\text{[math]}$ ．（5分）
∴c=1；（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 $\text{[math]}$ （n=1，2，3，）．
∴数列 $\text{[math]}$ 为首项是 $\text{[math]}$ ，公差为1的等差数列．（8分）
∴ $\text{[math]}$ ．
∴S_n=n²．（10分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．（12分）
当n=1时，上式也成立．（13分）
∴a_n=2n-1（n=1，2，3，）．
分析：（Ⅰ）由题设条件知 $\text{[math]}$ （n=1，2，3，）， $\text{[math]}$ ．所以 $\text{[math]}$ ．由此可得c=1．
（Ⅱ）由题意知 $\text{[math]}$ （n=1，2，3，）．所以数列 $\text{[math]}$ 为首项是 $\text{[math]}$ ，公差为1的等差数列．由此可推出a_n=2n-1（n=1，2，3，）．
点评：本题考查数列的性质及其应用，解题时要注意公式的合理选取．