Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a₁=1，a_n+1=S_n（n=1，2，3，…）．证明：
（Ⅰ）数列{}是等比数列；
（Ⅱ）S_n+1=4a_n．

Answer 1

（I）证：由a₁=1，a_n+1=S_n（n=1，2，3，），
知a₂=S₁=3a₁，，，∴
又a_n+1=S_n+1-S_n（n=1，2，3，…），则S_n+1-S_n=S_n（n=1，2，3，），
∴nS_n+1=2（n+1）S_n，（n=1，2，3，…），
故数列{}是首项为1，公比为2的等比数列．
（II）证明：S_n+1=4a_n．当n=1时，S₂=a₁+a₂=4a₁，等式成立．
由（1）知：，∴S_n=n2^n-1
当n≥2时，4a_n=4（S_n-S_n-1）=2ⁿ（2n-n+1）=（n+1）2ⁿ=S_n+1，等式成立．
因此对于任意正整数n≥1都有S_n+1=4a_n．
分析：（Ⅰ）要证数列{}是等比数列；需证（n=1，2，3，…）成立，另外应说明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列{}是首项为1，公比为2的等比数列，可得S_n的通项公式，代入a_n+1=S_n（n=1，2，3，…）可得S_n+1=4a_n．说明当n=1时，S₂=a₁+a₂=4a₁，等式成立．
点评：要证一个数列是等比数列，利用定义，每一项与它的前一项之比为一个常数，在这儿注意，n=1时，不在其中，所以要加以说明；同样第二个问题中，a_n+1=S_n（n=1，2，3，…），这个式子也不包括a₁应加以说明．