Question

已知数列{a_n}中，a_n＞0且a_n²-2a_nS_n+1=0，其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）求证：{S_n²}是等差数列；
（2）求证：a_n＞a_n+1（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）通过已知的等式，利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2），直接化简即可得到S_n²-S_n-1²=常数，即可证明{S_n²}是等差数列；
（2）求出a₁，利用（1）得到S_n，利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）得到表达式，然后通过放缩法证明a_n＞a_n+1（n∈N^*）．

解答：证明：（1）∵a_n²-2a_nS_n+1=0，a_n=S_n-S_n-1（n≥2）
∴（S_n-S_n-1）²-2（S_n-S_n-1）S_n+1=0⇒S_n²-S_n-1²=1
故{S_n²}成等差数列．
（2）∵a₁²-2a₁²+1=0，a₁＞0
∴a₁=S₁=1
∴S_n²=1+（n-1）=n
故Sn=

n

∴an=Sn-Sn-1=

n

-

n-1

=

1

n + n-1

＞

1

n+1 + n

=an+1（n∈N^*）

点评：本题是中档题，考查数列的判断，数列通项公式的求法，放缩法的应用，对通项公式的理解能力的考查，是本题的难点．