Question

10．写出下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在x轴上，焦距等于4，并经过点P（3，-2$\sqrt{6}$）；
（2）焦点坐标分别为（0，-4），（0，4），a=5；
（3）a+c=10，a-c=4．

Answer 1

分析 （1）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得c=2，代入P的坐标，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）由题意可得c=4，a=5，求得b=3，由焦点在y轴上，即可得到所求椭圆方程；
（3）求得a=7，c=3，可得b，进而得到椭圆方程，注意两种情况．

解答 解：（1）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
即有c=2，a²-b²=c²，$\frac{9}{{a}^{2}}$+$\frac{24}{{b}^{2}}$=1，
解得a=6，b=4$\sqrt{2}$，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{32}$=1；
（2）由题意可得c=4，a=5，b²=a²-c²=9，
即有椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{25}$+$\frac{{x}^{2}}{9}$=1；
（3）a+c=10，a-c=4，
解得a=7，c=3，
即有b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{49}$+$\frac{{y}^{2}}{40}$=1或$\frac{{y}^{2}}{49}$+$\frac{{x}^{2}}{40}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，考查椭圆的性质，注意讨论椭圆的焦点位置，属于基础题．