Question

已知函数f（x）=e^x-x-1，x∈（-∞，0）∪（0，+∞），则下列结论正确的是（　　）

A．f（x）＜0

B．f（x）＞0

C．当x＞0时f（x）＞0，当x＜0时f（x）＜0

D．当x＜0时f（x）＞0，当x＞0时f（x）＜0

Answer 1

分析：由f（x）=e^x-x-1，知f′（x）=e^x-1，令f′（x）=e^x-1=0，得x=0．列表讨论知，f（x）=e^x-x-1在x=0处取到最小值0，故x∈（-∞，0）∪（0，+∞）时，函数f（x）=e^x-x-1＞0．

解答：解：∵f（x）=e^x-x-1，
∴f′（x）=e^x-1，
令f′（x）=e^x-1=0，得x=0．
列表：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	极小值	↑

∴f（x）=e^x-x-1在x=0处取极小值f（0）=0，
列表讨论知，f（x）=e^x-x-1在x=0处取到最小值0，
∴x∈（-∞，0）∪（0，+∞）时，函数f（x）=e^x-x-1＞0．
故选B．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，解题时要认真审题，合理地利用函数的最值进行转化．