Question

设p为常数，函数f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）为奇函数．
（1）求p的值；（2）若f（x）＞2，求x的取值范围；（3）求证：x•f（x）≤0．

Answer 1

（1）f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）=log₂[（1-x）（1+x）^p]，
∵f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）为奇函数，
∴f（-x）=log₂[（1+x）（1-x）^p]=-f（x）=log2

1

(1-x)(1+x )p

=log₂[（1-x）^-1（1+x）^-p]，
∴

1+x=(1+x)-p (1-x)p=(1-x)-1

，
∴p=-1．
（2）∵p=-1，
∴f（x）=log2

1-x

1+x

，
∵f（x）＞2，
∴

1-x＞0 1+x＞0 1-x 1+x ＞4

，
解得-1＜x＜-

3

5

，
∴f（x）＞2时x的取值范围是（-1，-

3

5

）．
（3）∵f（x）=log2

1-x

1+x

，
∴

1-x

1+x

＞0，解得-1＜x＜1．
当-1＜x＜0时，

1-x

1+x

＞1，f（x）=log2

1-x

1+x

＞0，
∴x•f（x）＜0；
当x=0时，

1-x

1+x

=1，f（x）=log2

1-x

1+x

=0，
∴x•f（x）=0；
当0＜x＜1时，

1-x

1+x

＜1，f（x）=log2

1-x

1+x

＜0，
∴x•f（x）＜0．
综上所述，x•f（x）≤0．