Question

我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径百公里）的中心为一个焦点的椭圆.如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）到火星表面的距离为百公里，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）到火星表面的距离为800百公里.假定探测器由近火星点第一次逆时针运行到与轨道中心的距离为百公里时进行变轨，其中、分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到1百公里）.

Answer 1

解答：本题主要考查椭圆的定义、标准方程以及两曲线交点的求解、两点间的距离公式，考查数学建模以及分析、解决实际问题的能力.

设所求轨道方程为，.

    ，∴.

    于是

    ∴所求轨道方程为.

    设变轨时，探测器位于，则

    ，，

    解得 ，（由题意）

    ∴探测器在变轨时与火星表面的距离为

    .

    答：探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里