Question

已知中心在原点，一焦点为F(0，)的椭圆被直线l：y=3x－2截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程.

Answer 1

解:∵椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，

∴椭圆的方程为标准方程.

∵c=,∴a²=b²+50.

∴椭圆的方程可写成+=1.

把直线y=3x－2代入椭圆的方程并整理得

10(b²+5)x²－12b²x－b⁴－46b²=0.

∴x₁+x₂=.

∵弦的中点的横坐标为,

∴=1，b²=25.

∴a²=75.

∴所求椭圆的方程为=1.

点评:解决直线被圆锥曲线截得的弦的中点问题，经常用到韦达定理.