Question

（本小题满分13分）

已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

（1）若几何体的体积为，求实数的值；

（2）若，求异面直线与所成角的余弦值；

（3）是否存在实数，使得二面角的平面角是，若存在，请求出值；若不存在请说明理由．

Answer 1

 （本小题满分13分）

（1）体积；

（2） 解一：过点作交于，连接，则或其补角即为异面直线与所成角，在中，，，

；即异面直线与所成角的余弦值为。

解二: 以为原点，以、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，得，，，又异面直线与所成角为锐角，可得异面直线与所成角的余弦值为。

（3）以为原点，以、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，平面的法向量，平面的法向量，，，由，可得，。

此时，与正视图为直角梯形条件不符，所以舍去，

因此不存在实数，使得二面角的平面角是。