Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点M，N分别为A₁A和B₁B的中点．
（Ⅰ）求异面直线CM与D₁N所成角的余弦值；
（Ⅱ）求点D₁到平面MDC的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分别是以DA₁、DC₁、DD₁所成在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得

MC

与

D1N

的坐标，可得cos＜

MC

，

D1N

＞，取其绝对值即可；
（Ⅱ）设面DMC的法向量为

n

=(x，y，z)，由垂直关系可得xyz的关系，而点D₁到平面MDC的距离h=

| DD1 • n |

| n |

，计算可得．

解答：解：（Ⅰ）分别是以DA₁、DC₁、DD₁所成在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 
则M（2，0，1）C（0，2，0）N（2，2，1）D₁（0，0，2）
∴

MC

=(-2，2，-1)

D1N

=(-2，-2，1)
∴cos＜

MC

，

D1N

＞=

4-4-1

3×3

=-

1

9

∴异面直线CM与D₁N所成角的余弦值为

1

9

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得

DM

=(2，0，1)，

DC

=(0，2，0)，

DD1

=(0，0，2)
设面DMC的法向量为

n

=(x，y，z)
则

2x+z=0 y=0

⇒

n

=(1，0，-2)
∴点D₁到平面MDC的距离h=

| DD1 • n |

| n |

=

4

5

=

4 5

5

点评：本题考查异面直线所成的角，以及点到平面的距离，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．