Question

【题目】已知三次函数的导函数且， ．

（1）求的极值；

（2）求证：对任意，都有．

Answer 1

【答案】（I）， ;（II）见解析.

【解析】试题分析：（I）由题意，令且 所以由的单调性可知的极小值为极大值为

（II）且从而问题转化为在

上恒成立.

试题解析：

（I）依题意得，

知在和上是减函数，在上是增函数

∴，

（II）法1：易得时， ，

依题意知，只要

由知，只要

令img src="//thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/12/29/13/326babff/SYS201712291339206689357083_DA/SYS201712291339206689357083_DA.027.png" width="169" height="27" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，则

注意到，当时， ；当时， ，

即在上是减函数，在是增函数，

即，综上知对任意，都有

法2：易得时， ，

由知, ,令

则

注意到，当时， ；当时， ，

即在上是减函数，在是增函数， ，所以,

即.

综上知对任意，都有.

法3: 易得时， ，

由知, ,令,则

令,则,知在递增,注意到,所以, 在上是减函数，在是增函数,有,即

综上知对任意，都有.