Question

已知函数f（x）=e^x-x（e为自然对数的 底数）。
（1）求f（x）的最小值；
（2）不等式f（x）>ax的解集为P，若M={x|≤x≤2}且M∩P≠，求实数a的取值范围；
（3）已知n∈N*，且，是否存在等差数列{a_n} 和首项为f（1），公比大于0的等比数列{b_n}，使得a₁+a₂+…+a_n+b₁+b₂+…+b_n=S_n？若存在，请求出数列{a_n}、{b_n}的通项公式；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）f'（x）=e^x-1
由f'（x）=0，得x=0
当x>0时，f'（x）>0；
当x＜0时，f'（x）＜0
∴f（x）在（0，+∞）上递增，在（-∞，0）上递减
∴f（x）_min=f（0）=1。
（2）∵M∩P≠，
∴f（x）>ax在区间上有解，
由f（x）>ax，得e^x-x>ax即在上有解
令
则
∴g（x）在上递减，在[1，2]上递增
又
且
∴
∴。
（3）假设存在公差为d的等差数列{a_n}和公比q>0，首项为f（1）的等比数列{b_n}，使a₁+a₂+…+a_n+b₁+b₂+…+ b_n=S_n
∵
b₁=f（1）=e-1，
∴a₁+b₁=S₁即
∴
又n≥2时

故n=2，3时有

②-①×2得q²-2q=e²-2e，解得q=e或q=2-e（舍），
故q=e，d=-1，
此时

且
∴存在这样的数列{a_n}、{b_n}满足题意。