Question

已知函数f （x）=x （1+x）²．
（1）求实数a，b的值，使函数在区间[a，b]上的值域也为[a，b]；
（2）设函数g （x）=kx-2（k∈R），f（x）≥g（x）在区间[1，2]上恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，可得a，b即为方程f （x）=x的解，解方程f （x）=x可得实数a，b的值；
（2）由函数g （x）=kx-2（k∈R），f（x）≥g（x）在区间[1，2]上恒成立，可得kx≤f（x）+2在区间[1，2]上恒成立，即k≤[f（x）+2]÷x在区间[1，2]上恒成立，构造函数h（x）=[f （x）+2]÷x，求出其在区间[1，2]上的最小值后可得k的取值范围．

解答：解（1）由题意知，f（a）=a且f（b）=b，
a，b即为方程f（x）=x的解，
即    x（1+x）²=x，
解得x₁=0，x₂=-2．
当-2≤x≤0时，检验知符合题意．
∴a=-2，b=0．
（2）g（x）=kx-2（k∈R），f（x）≥g（x）在区间[1，2]上恒成立
kx≤f（x）+2在区间[1，2]上恒成立，
∴k≤x2+2x+1+

2

x

在区间[1，2]上恒成立
令h（x）=x2+2x+1+

2

x

  
则h′（x）=2x+2-

2

x2

=

2x3+2x2-2

x2

＞0恒成立
即h（x）在区间[1，2]上为增函数
故当x=1时，h（x）取最小值6
∴k的取值范围是k≤6

点评：本题考查的知识点是导数在最大值，最小值问题中的应用，根的存在性及根的个数判断，其中熟练掌握利用导数法处理函数恒成立问题的方法和步骤是解答本题的关键．