Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，下面结论中正确的是    ．
①AC∥平面CB₁D₁；
②AC₁⊥平面CB₁D₁；
③AC₁与底面ABCD所成角的正切值是；
④AD₁与BD为异面直线．

Answer 1

【答案】分析：由AC∩平面CB₁D₁=C，能判断①不正确；由正方体的性质和直线与平面垂直的判定定理，能判断②正确；由线面角的求法能判断③正确；由异面直线判定定理，能判断④正确．
解答：解：由ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，知：
①∵AC∩平面CB₁D₁=C，∴AC与平面CB₁D₁相交，故①不正确；
②由正方体的性质，得B₁D₁⊥A₁C₁，CC₁⊥B₁D₁，故B₁D₁⊥平面 ACC₁A₁，故 B₁D₁⊥AC₁．
同理可得 B₁C⊥AC₁．再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC₁⊥平面CB₁D₁ ，故②正确；
③AC₁与底面ABCD所成角的正切值tan=，故③正确；
④∵AD₁∩平面ABCD=A，BD?平面ABCD，A∉BD，
∴由异面直线判定理，知AD₁与BD为异面直线，故④正确．
故答案为：②③④．
点评：本题考查直线与直线、直线与平面的位置关系的判断，解题时要认真审题，注意异面直线的判定，直线和平面平行、垂直的判定定理的应用．