Question

（2013•南通二模）设无穷数列{a_n}满足：?n∈N^*，a_n＜a_n+1，an∈N*．记bn=aan，  cn=aan+1(n∈N*)．
（1）若bn=3n(n∈N*)，求证：a₁=2，并求c₁的值；
（2）若{c_n}是公差为1的等差数列，问{a_n}是否为等差数列，证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件排除a₁=1、a₁≥3即可证得a₁=2，c1=aa1+1=a3，通过计算可得a₂=3，故a3=aa2=b₂，代入数值可求得；
（2）由a_n+1＞a_n⇒n≥2时，a_n＞a_n-1，由此可推得a_n≥a_m+（n-m）（m＜n），从而⇒aan+1+1≥aan+1+an+1+1-(an+1)，即c_n+1-c_n≥a_n+1-a_n，又{c_n}是公差为1的等差数列，所以1≥a_n+1-a_n，又a_n+1-a_n≥1，故a_n+1-a_n=1，由此可判断{a_n}是否为等差数列；

解答：（1）因为an∈N*，所以若a₁=1，则aa1=a1=3矛盾，
若a1≥3=aa1，可得1≥a₁≥3矛盾，所以a₁=2． 
于是a2=aa1=3，
从而c1=aa1+1=a3=aa2=6． 
（2）{a_n}是公差为1的等差数列，证明如下：
a_n+1＞a_n⇒n≥2时，a_n＞a_n-1，
所以a_n≥a_n-1+1⇒a_n≥a_m+（n-m），（m＜n）⇒aan+1+1≥aan+1+an+1+1-(an+1)，即c_n+1-c_n≥a_n+1-a_n，
由题设，1≥a_n+1-a_n，又a_n+1-a_n≥1，
所以a_n+1-a_n=1，即{a_n}是等差数列．

点评：本题考查等差数列的判定及通项公式，考查学生的逻辑推理能力，难度较大．