题目内容

已知a＞0且a≠1，数列{a_n}是首项与公比均为a的等比数列，数列{b_n}满足b_n=a_n•lga_n（n∈N^）．
（1）若a=2，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）若对于n∈N^，总有b_n＜b_n+1，求a的取值范围．

解：（1）由已知有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．…（2分）
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，…（5分）
所以 $\text{[math]}$ ，
求得 $\text{[math]}$ ．…（8分）
（2）b_n＜b_n+1即naⁿlga＜（n+1）aⁿ⁺¹lga．由a＞0且a≠1得nlga＜（n+1）alga．（2分）
所以 $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ …（3分）
即 $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ 对任意n∈N*成立，…（5分）
而 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ 或a＞1，
即a的取值范围为（0， $\text{[math]}$ ）∪（1，+∞）． …（8分）
分析：（1）由已知有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由此可得 $\text{[math]}$ ，用错位相减法求出它的值．
（2）由条件可得nlga＜（n+1）alga，所以 $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ，而 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，由此解得a的取值范围．
点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式的应用，用错位相减法求数列的前n项和．