题目内容
已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）的定义域为R
（1）当θ=0时，求f（x）的单调递减区间；
（2）若θ∈（0，π），当θ为何值时，f（x）为奇函数．
（1）当θ=0时，求f（x）的单调递减区间；
（2）若θ∈（0，π），当θ为何值时，f（x）为奇函数．
分析：（1）把θ=0代入函数的解析式进行整理，再结合正弦函数的单调递减区间即可求出结论．
（2）先利用辅助角公式对函数进行整理，再结合奇函数定义域内有0函数值为0这一结论即可求出θ的值．
（2）先利用辅助角公式对函数进行整理，再结合奇函数定义域内有0函数值为0这一结论即可求出θ的值．
解答：解：（1）θ=0时，f(x)=sinx+cosx=
sin(x+
)
又由2kπ+
≤x+
≤2kπ+
π，得2kπ+
≤x≤2kπ+
π
∴f（x）的单调递减区间为[2kπ+
，2kπ+
π]k∈Z（6分）
（2）∵f(x)=
sin(x+θ+
)，
又若f（x）为奇函数，则f（0）=0
∴sin(θ+
)=0
又0＜θ＜π，从而
＜θ+
＜
π
∴θ+
=π
∴θ=
π（12分）
| 2 |
| π |
| 4 |
又由2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
∴f（x）的单调递减区间为[2kπ+
| π |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
（2）∵f(x)=
| 2 |
| π |
| 4 |
又若f（x）为奇函数，则f（0）=0
∴sin(θ+
| π |
| 4 |
又0＜θ＜π，从而
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
∴θ+
| π |
| 4 |
∴θ=
| 3 |
| 4 |
点评：本题主要考查三角函数中的恒等变换应用以及奇函数的性质的应用．解决三角函数的题目时，一定要熟练掌握公式，并会熟练运用．
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