Question

9．若x＞0，y＞0，且$\frac{1}{2x+y}+\frac{4}{x+y}=2$，则7x+5y的最小值为7+2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由题意可得7x+5y=2（2x+y）+3（x+y）=$\frac{1}{2}$[2（2x+y）+3（x+y）]（$\frac{1}{2x+y}$+$\frac{4}{x+y}$）=$\frac{1}{2}$[14+$\frac{3（x+y）}{2x+y}$+$\frac{8（2x+y）}{x+y}$]，由基本不等式可得．

解答 解：∵x＞0，y＞0，∴2x+y＞0，x+y＞0，
又∵$\frac{1}{2x+y}+\frac{4}{x+y}=2$，
∴7x+5y=2（2x+y）+3（x+y）
=$\frac{1}{2}$[2（2x+y）+3（x+y）]（$\frac{1}{2x+y}$+$\frac{4}{x+y}$）
=$\frac{1}{2}$[14+$\frac{3（x+y）}{2x+y}$+$\frac{8（2x+y）}{x+y}$]
≥$\frac{1}{2}$[14+2$\sqrt{\frac{3（x+y）}{2x+y}•\frac{8（2x+y）}{x+y}}$]
=7+2$\sqrt{6}$
当且仅当$\frac{3（x+y）}{2x+y}$=$\frac{8（2x+y）}{x+y}$时取等号
故答案为：7+2$\sqrt{6}$

点评 本题考查基本不等式求最值，整体变形是解决问题的关键，属中档题．