Question

已知△ABC中，内角A、B、C的对边的边长为a、b、c，且

3

acosC=(2b-

3

c)cosA．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，c=

3

b，求出△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理把

3

acosC=(2b-

3

c)cosA中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式进行化简整理求得cosA，进而求得A．
（2）通过已知条件以及A的大小，利用余弦定理求出bc，然后通过三角形的面积公式求出面积即可．

解答：解：（1）因为

3

acosC=(2b-

3

c)cosA，
所以（2sinB-

3

sinC）cosA=

3

sinAcosC2sinBcosA=

3

sinAcosC+

3

sinCcosA2sinBcosA=

3

sin（A+C），
则2sinBcosA=

3

sinB，
所以cosA=

3

2

，于是A=

π

6

．
（2）∵a=2，c=

3

b，A=

π

6

，
由余弦定理可得：b²+c²-2bccosA=a²，
∴b²+3b²-3b²=4，解得b=2，c=2

3

．
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×2

3

×

1

2

=

3

．

点评：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的角的求解，面积公式的应用，考查转化思想以及计算能力．