Question

已知函数f（x）=sin（ωx-φ）+2cosωxsinφ（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M(

3π

4

，0)对称，且在区间  [0，

π

2

]上是单调函数，求φ和ω的值．

Answer 1

分析：利用两角和与差公式得出f（x）=sin（ωx+φ）．再利用三角函数的性质，先求出φ，得出f（x）=cos（ωx ）．再求?．

解答：解：f（x）=sin（ωx-φ）+2cosωxsinφ
=sinωxcosφ-cosωxsinφ+2cosωxsinφ
=sinωxcosφ+cosωxsinφ=sin（ωx+φ）．
∵函数f（x）是R上的偶函数∴图象关于y轴对称，f（0）=±1，sinφ=±1．φ=kπ±

π

2

，k∈Z．又0≤φ≤π，∴φ=

π

2

．
从而f（x）=cos（ωx ）．其图象关于点M(

3π

4

，0)对称，且在区间  [0，

π

2

]上是单调函数，∴cos（

3π

4

ω ）=0.

3π

4

ω=kπ±

π

2

．ω=

4k+2

3

，k∈Z．
[0，

ωπ

2

]⊆[0，π]，

ωπ

2

≤π，ω≤2．∴ω=

2

3

或2．

点评：本题考查两角和与差公式的正用、逆用，诱导公式，三角函数的性质．考查转化计算能力．