Question

已知数列{a_n}是公差不为零的等差数列，数列{b_n}满足bn=an•an+1•an+2(n∈N+)，Sn为{bn}的前n项和．
（1）若{a_n}的公差等于首项a₁，证明对于任意正整数n都有Sn=

bnan+3

4d

；
（2）若{a_n}中满足3a₅=8a₁₂＞0，试问n多大时，S_n取得最大值？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）用数学归纳法证明：当n=1时，原命题成立；假设当n=k时，Sk=

bkak+3

4d

成立，利用S_k+1=S_k+b_k+1，可证当n=k+1时，命题也成立
（2）根据3a₅=8a₁₂，可得a16=a5+11d=-

1

5

d＞0，a17=a5+12d=-

56

5

d+12d=

4

5

d＜0，从而b₁＞b₂＞…b₁₄＞0＞b₁₇＞b₁₈…，b₁₅=a₁₅a₁₆a₁₇＜0，b₁₆=a₁₆a₁₇a₁₈＞0，进而可知S₁₄＞S₁₃＞…＞S₁，S₁₄＞S₁₅，S₁₅＜S₁₆，由此可得S_n中S₁₆最大．

解答：（1）证明：当n=1时，S1=b1，

b1a4

4d

=

b1(a1+3d)

4d

=b1，∴原命题成立
假设当n=k时，Sk=

bkak+3

4d

成立
则Sk+1=Sk+bk+1=

bkak+3+bk+1•4d

4d

=

ak•ak+1ak+2ak+3+bk+1•4d

4d

=

akbk+1+bk+14d

4d

=

bk+1(ak+4d)

4d

=

bk+1ak+4

4d

∴当n=k+1时，命题也成立
故对于任意正整数n都有Sn=

bnan+3

4d

；（6分）
（2）解：∵3a₅=8a₁₂，∴3a5=8(a5+7d)  ，  ∴a5=-

56

5

d
∴a16=a5+11d=-

1

5

d＞0，a17=a5+12d=-

56

5

d+12d=

4

5

d＜0
∴b₁＞b₂＞…b₁₄＞0＞b₁₇＞b₁₈…，b₁₅=a₁₅a₁₆a₁₇＜0，b₁₆=a₁₆a₁₇a₁₈＞0
∴S₁₄＞S₁₃＞…＞S₁，S₁₄＞S₁₅，S₁₅＜S₁₆
又a15=a5+10d=-

6

5

d，a18=a5+13d=

9

5

d
∴a₁₅＜|a₁₈|，∴|b₁₅|＜b₁₆，b₁₅+b₁₆＞0
∴S₁₆＞S₁₄
故S_n中S₁₆最大（12分）

点评：本题考查数学归纳法的证明，考查数列的求和，考查函数思想，掌握数学归纳法的证题步骤是关键．