Question

已知数列{a_n}满足a1=1， an=a1+

1

2

a2+

1

3

a3+…+

1

n-1

an-1(n≥2，n∈N*)，若a_n=2011，则n=

2011

．

Answer 1

分析：由于数列{a_n}满足a1=1， an=a1+

1

2

a2+

1

3

a3+…+

1

n-1

an-1(n≥2，n∈N*)，故再写一式，可得an+1=an+

1

n

an，从而利用叠乘法可求数列通项，进而可解决问题．

解答：解：由题意得，∵an=a1+

1

2

a2+

1

3

a3+…+

1

n-1

an-1(n≥2，n∈N*)
∴an+1=a1+

1

2

a2+

1

3

a3+…+

1

n-1

an-1+

1

n

an(n≥2，n∈ N*)
∴an+1=an+

1

n

an
∴

an+1

an

=

n+1

n

∴an=2×

3

2

…×

n

n-1

=n   (n≥2)
∵a_n=2011，∴n=2011
故答案为2011．

点评：本题的考点是数列递推式，主要考查利用数列递推式求数列的通项，关键是再写一式，再进行迭代．