Question

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点，
（Ⅰ）求证：FH∥平面EDB；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点．由于H为BC的中点，容易证明四边形EFGH为平行四边形，即可得EG∥FH，可证
（Ⅱ）证：由四边形ABCD是正方形可得AB⊥CB．结合EF∥AB，可得EF⊥BC．由EF⊥FB，可得EF⊥平面BFC．EF⊥FH，结合已知可证FH⊥平面ABCD，及FH∥EG，可证AC⊥EG．又AC⊥BD，可证

解答：（Ⅰ）证：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点．
连EG、GH，
由于H为BC的中点，故GH

∥

.

1

2

AB．
又FE

∥

.

1

2

AB，
∴EF

∥

.

GH．
∴四边形EFGH为平行四边形．
∴EG∥FH．而EG?平面EDB，
∴FH∥平面EDB．…（6分）
（Ⅱ）证：由四边形ABCD是正方形，有AB⊥CB．
又EF∥AB，∴EF⊥BC．而EF⊥FB，
∴EF⊥平面BFC．
∴EF⊥FH，
∴AB⊥FH．又BF=FC，H为BC的中点，
FH⊥BC．
FH⊥平面ABCD，
∴FH⊥AC．又FH∥EG，
AC⊥EG．又AC⊥BD，GE∩BD=G，
∴AC⊥平面EDB．…（14分）

点评：本题主要考查了线面平行与线面垂直的证明，证明的关键是利用判定定理，并要注意线线平行（垂直）与线面平行（垂直）的相互转化