Question

定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.

（1）证明f（0）=1；

（2）证明对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；

（3）证明函数y=f（x）是R上的增函数.

Answer 1

思路解析：本题抽象函数的原型函数即为指数函数，可借助y=2^x理清解答的思路和方法.

证明：（1）取a=b=0，则f（0）=f²（0）.

∵f（0）≠0，∴f（0）=1.

（2）当x≥0时，f（x）≥1＞0成立，当x＜0时，-x＞0，f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x）=1，∴f（x）=＞0.

∴x∈R时，恒有f（x）＞0.

（3）法一：设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0.

∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）·f（x₁）.

∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞1.

又f（x₁）＞0，∴f（x₂-x₁）·f（x₁）＞f（x₁）.

∴f（x）是R上的增函数.

法二：设x₂=x₁+t（t＞0），f（x₂）=f（x₁+t）=f（x₁）·f（t）＞f（x₁）.或者设x₁＜x₂，则＞1.

又f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，

∴f（x₂）＞f（x₁）.