Question

已知函数f(x)=

x-1

x+1

，
（1）请判断f（x）在（0，+∞）上单调性并用定义证明；
（2）若g（x）=f（2^x），判断函数g（x）的奇偶性并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用函数单调性的定义即可判断出在（0，+∞）单调递增；
（2）利用函数奇偶性的定义和指数的运算法则即可判断出奇偶性．

解答：解：（1）f（x）在（0，+∞）上单增．证明如下：
?x₁＞x₂＞0，则f(x1)-f(x2)=

x1-1

x1+1

-

x2-1

x2+1

=

2(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

，
由x₁＞x₂＞0知 x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＞0，
故  f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
故f（x）在（0，+∞）上单增．
（2）g（x）=f（2^x）=

2x-1

2x+1

，定义域为R．
∵g(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-g（x），
故g（x）为奇函数．

点评：本题考查了函数奇偶性的定义和单调性，属于基础题．