Question

已知函数f(x)=,

(1)求证：f(x)的图象关于点M（a,-1）对称；

(2)若f(x)≥-2^x在x≥a上恒成立，求a的取值范围.

Answer 1

（1）证明：设f(x)的图象C上任一点为P（x,y）,则y=-,P(x,y)关于点M（a,-1）的对称点为P′(2a-x,-2-y),∴-2-y=-2+===f(2a-x).

点P′(2a-x,-2-y)也在f（x）的图象C上，由点P的任意性知f(x)的图象关于点M（a,-1）对称.

（2）解：f(x)≥-2^x≥-2^x2^x-a·2^x+2^x-2≥0,

∴(2^x)²+2^a·2^x-2x2^a≥0,在x≥a上恒成立，

令g(t)=t²+2^a·t-2·2^a,则g(t)≥0在t≥2^a上恒成立.

∵g(t)在t≥2^a上为增函数，∴g(2^a)≥0.

∴(2^a)²+(2^a)-2·2^a≥0,∴2^a(2^a-1)≥0,∴a≥0.