Question

已知函数f(x)=-x³＋3x²＋9x＋a,

（1）求f(x)的单调递减区间；

（2）若f(x)在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.

Answer 1

解：（1）f′(x)=-3x²＋6x＋9.令f′(x)＜0，解得x＜-1或x＞3，

所以函数f(x)的单调递减区间为（-∞?，-1），（3，＋∞）.

（2）因为f(-2)=8＋12-18＋a=2＋a，f(2)=-8＋12＋18＋a=22＋a，

所以f(2)＞f(-2).因为在（-1，3）上f′(x)＞0，所以f(x)在[-1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[-2，-1]上单调递减，因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2，2]上的最大值和最小值，于是有22＋a=20，解得a=-2.

故f(x)=-x³＋3x²＋9x-2，因此f(-1)=1＋3-9-2=-7，即函数f(x)在区间[-2，2]上的最小值为-7.