Question

8．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，点P为DD₁的中点．
（1）求证：直线BD₁∥平面PAC；
（2）求证：直线PB₁⊥平面PAC．
（3）求三棱锥B-PAC的体积．

Answer 1

分析 （1）直接利用三角形的中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理得到结论．
（2）利用线面垂直的判定和性质定理和勾股定理得逆定理得到线线垂直，进一步利用线面垂直的判定得到结论．
（3）利用等体积法，求三棱锥B-PAC的体积．

解答 （1）证明：设AC和BD交于点O，连PO，
由P，O分别是DD₁，BD的中点，故PO∥BD₁，
所以直线BD₁∥平面PAC-------------------------（5分）
（2）证明：PC²=2，PB₁²=3，B₁C²=5，所以△PB₁C是直角三角形．
所以PB₁⊥PC，----------（8分）
同理PB₁⊥PA，所以直线PB₁⊥平面PAC．--------（10分）
（3）解：因为P为中点，所以PD=1，易知△ABC为直角三角形，且AB=BC=1，
所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AB×BC=\frac{1}{2}⇒{V_{B-PAC}}={V_{P-ABC}}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}×PD=\frac{1}{6}$-----（14分）

点评 本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定和性质的应用，考查求三棱锥B-PAC的体积，属于中档题．