题目内容
如图，在三棱锥P—ABC中，AB⊥BC，AB=BC=
PA，点O、D分别为AC、PC的中点，OP⊥底面ABC.
（1）求证：OD∥平面PAB；
（2）求直线OD与平面PBC所成角的大小.
解析：（1）∵点O，D分别为AC，PC的中点，∴OD∥PA
∴OD∥平面PAB.
（2）连结OB，∵AB⊥BC，O为中点，AB=BC
∴BO⊥AC，又OP⊥底面ABC
∴OA，OB，OP两两垂直，故以O为原点，以
，，
分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系.
令PA=2
，则AB=BC=
，故A（1，0，0），B（0，1，0），P（0，0，
），
设面PBC的法向量为m=（x,y,z）
=（-1，-1，0），
=（0，-1，
）
∵m⊥
，∴x+y=0,
∵m⊥
,∴-y+
z=0,
取z=-
,则y=-7,x=7,
故m=(7,-7,-
)，
而OD=（
，0，
），
∴cos(
，m)=
=
=
.
故而直线OD与平面PBC所成角的大小为arcsin
.
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