Question

16．在以O为极点的极坐标系中，直线ρcosθ+$\sqrt{3}$ρsinθ=4$\sqrt{3}$与圆$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）交于M，N两点，则线段MN的长度为2．

Answer 1

分析 化直线为直角坐标方程，化圆为普通方程，求出圆心到直线的距离，则弦长可求．

解答 解：由ρcosθ+$\sqrt{3}$ρsinθ=4$\sqrt{3}$，得$x+\sqrt{3}y=4\sqrt{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$，得x²+（y-2）²=4．
作出图象如图，

圆心（0，2）到直线$x+\sqrt{3}y-4\sqrt{3}=0$的距离d=$\frac{|2\sqrt{3}-4\sqrt{3}|}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}=\sqrt{3}$．
∴|MN|=2$\sqrt{4-（\sqrt{3}）^{2}}=2$．
故答案为：2．

点评 本题考查参数方程化普通方程，考查极坐标方程化直角坐标方程，训练了点到直线的距离公式的应用，考查了直线被圆所截弦长的求法，是基础题．