Question

【题目】直角坐标系xoy中，椭圆的离心率为，过点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知点P(2,1)，直线与椭圆C相交于A,B两点，且线段AB被直线OP平分.

①求直线的斜率；②若，求直线的方程.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) ①直线的斜率为除以外的任意实数.

②.

【解析】分析：（1）由离心率条件得，然后将点.代入原式得到第二个方程，联立求解即可；（2）①先得出OP的方程，然后根据点差法研究即可；②先表示出，然后联立直线和椭圆根据韦达定理代入等式求解即可.

详解：

（1）由可得，

设椭圆方程为，代入点，得，

故椭圆方程为：.

（2）①由条件知，

设，则满足，，

两式作差得：，

化简得，

因为被平分，故，

当即直线不过原点时，，所以；

当即直线过原点时，，为任意实数,但时与重合；

综上即直线的斜率为除以外的任意实数.

②当时，，故 ，

得，联立，得，舍去；

当时，设直线为，代入椭圆方程可得，（＃）

所以，，

，

，

故

解得，此时方程（＃）中，

故所求直线方程为.