Question

已知函数f（x）=3^x+k（k为常数），A（-2k，2）是函数y=f^-1（x）图象上的点．
（1）求实数k的值及函数f^-1（x）的解析式；
（2）将y=f^-1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（x）的图象，若2 f^-1（x+

m

-3）-g（x）≥1恒成立，试求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）∵A（-2k，2）是函数y=f^-1（x）图象上的点，
∴B（2，-2k）是函数y=f（x）上的点．
∴-2k=3²+k．∴k=-3．
∴f（x）=3^x-3．
∴y=f^-1（x）=log₃（x+3）（x＞-3）．

（2）将y=f^-1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，
得到函数y=g（x）=log₃x（x＞0），
要使2f^-1（x+

m

-3）-g（x）≥1恒成立，
即使2log₃（x+

m

）-log₃x≥1恒成立，
所以有x+

m

x

+2

m

≥3在x＞0时恒成立，只要（x+

m

x

+2

m

）_min≥3．
又x+

m

x

≥2

m

（当且仅当x=

m

x

，即x=

m

时等号成立），
∴（x+

m

x

+2

m

）_min=4

m

，即4

m

≥3．∴m≥

9

16

．