Question

【题目】已知向量 =（cos ，sin ）， =（cos ，﹣sin ），函数f（x）= ﹣m| + |+1，x∈[﹣ ， ]，m∈R．
（1）当m=0时，求f（ ）的值；
（2）若f（x）的最小值为﹣1，求实数m的值；
（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）+ m2 ， x∈[﹣ ， ]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： =（cos ，sin ）（cos ，﹣sin ）=cos cos ﹣sin sin =cos（ + ）=cos2x，

当m=0时，f（x）= +1=cos2x+1，

则f（ ）=cos（2× ）+1=cos +1= ；

（2）解：∵x∈[﹣ ， ]，

∴| + |= = =2cosx，

则f（x）= ﹣m| + |+1=cos2x﹣2mcosx+1=2cos2x﹣2mcosx，

令t=cosx，则 ≤t≤1，

则y=2t2﹣2mt，对称轴t= ，

①当 ＜ ，即m＜1时，

当t= 时，函数取得最小值此时最小值y= ﹣m=﹣1，得m= （舍），

②当 ≤ ≤1，即m＜1时，

当t= 时，函数取得最小值此时最小值y=﹣ =﹣1，得m= ，

③当 ＞1，即m＞2时，

当t=1时，函数取得最小值此时最小值y=2﹣2m=﹣1，得m= （舍），

综上若f（x）的最小值为﹣1，则实数m= ．

（3）解：令g（x）=2cos2x﹣2mcosx+ m2=0，得cosx= 或 ，

∴方程cosx= 或 在x∈[﹣ ， ]上有四个不同的实根，

则 ，得 ，则 ≤m＜ ，

即实数m的取值范围是 ≤m＜ ．

【解析】（1）利用向量数量积的公式化简函数f（x）即可．（2）求出函数f（x）的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．（3）由g（x）=0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．